Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex．（ I）若函数φ（x）=f（x）-x+1x?1，求函数φ（x）的单调区间；（Ⅱ）

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex．（ I）若函数φ（x）=f（x）-x+1x?1，求函数φ（x）的单调区间；（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x0，f （x0））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

Answer 1

（Ⅰ）解：φ(x)＝f(x)?

x+1

x?1

=lnx?

x+1

x?1

，φ′(x)＝

1

x

+

2

(x?1)2

＝

x2+1

x?(x?1)2

．（2分）
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（伏谨4分）
（Ⅱ）证明：∵f′(x)＝

1

x

，∴f′(x0)＝

1

x0

，
∴切线l的方程为y?lnx0＝

1

x0

(x?x0)，
即y＝

1

x0

x+lnx0?1，①（6分）
设直线l与曲线y=g（x）相切于点(x1，ex1)，
∵g'（x）=e^x，∴ex1＝

1

x0

，∴x₁=-lnx₀．（8分）
∴直线l也为y?

1

x0

＝

1

x0

(x+lnx0)，
即y＝

1

x0

x+

lnx0

x0

+

1

x0

，②（9分）
由①②得 lnx0?1＝

lnx0

x0

+

1

x0

，
∴lnx0＝

x0+1

x0?1

．（11分）
下证：在尘厅腊区派滑间（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=