Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DE

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG?DF=DB?EF．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．
∴∠BDE=∠CED，
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE；

（2）由△DEF∽△BDE，得

DB

DE

＝

DE

EF

．
∴DE²=DB?EF，
由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．
∴

DG

DE

＝

DE

DF

，
∴DE²=DG?DF，
∴DG?DF=DB?EF．