Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数n，是否

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数n，是否存在k∈R，使得Sn≥k恒成立？若存在，求是实数k的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由3a_n+1+2S_n=3  ①
得，当n≥2时，3a_n+2S_n-1=3  ②
由①-②得3a_n+1-3a_n+2a_n=0，
∴an+1＝

1

3

an （n≥2）．
又a₁=1，3a₂+2a₁=3，得a2＝

1

3

，
∴a2＝

1

3

a1．
故数列{a_n}是首项为1，公比q=

1

3

的等比数列，
∴an＝a1qn?1＝(

1

3

)n?1；
（2）假设存在满足题设条件的实数k，由（1）知，
Sn＝

a1(1?qn)

1?q

＝

1?( 1 3 )n

1? 1 3

＝

3

2

[1?(

1

3

)n]．
由题意知，对任意正整数n恒有k≤

3

2

[1?(

1

3

)n]，
又数列{1-(

1

3

)n}单调递增，
∴当n=1时，数列中的最小项为

2

3

，
则必有k≤1，
即实数k最大值为1．