Question

高二不等式两题!

(x2 ：为x的2次方，（）2 为 （）内的2次方)
1.求证：(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3
2.求证：[(a+b)/2]2≤(a2+b2)/2

第一题（X3+Y3）部分不会证；
第二题：是不是要分开证呢？
咱证出a、b为正数和负数（即同号）时，[(a+b)/2]2＝(a2+b2)/2
a、b异号时，[(a+b)/2]2＜(a2+b2)/2
请问这个思路正确么？分别写出2段 就可以总结：[(a+b)/2]2≤(a2+b2)/2 吗？
感谢fnxnmn 的回答

有个疑问：x³+y³≥2√(X³Y³) 如何证出的？是否同样适合 次数 更高的？

Answer 1

1.求证：(x+y)(x²+y²)(x³+y³)≥8x³y³。
分情况，使用基本不等式证明。
①x、y都是正数时，
∵X+Y≥2√(XY ) ①
x²+y²≥2XY ②
x³+y³≥2√(X³Y³) ③
把①②③相乘,不等式可以得证。
②x、y都是负数时，
∵-X-Y≥2√((-X)(-Y) ) ①
x²+y²≥2XY ②
-x³-y³≥2√((-X³)(-Y³)) ③
把①②③相乘,不等式可以得证。
③x、y一正一负时，
x+y与x³+y³同号，x²+y²≥0，
(x+y)(x²+y²)(x³+y³) ≥0，8x³y³≤0，
不等式成立。
④当x,y其中之一为0时，不等式也成立。
2. [(a+b)/2]²≤(a²+b²)/2
不需要分情况讨论证明，直接做差就可以。
(a²+b²)/2- [(a+b)/2]²=[2(a²+b²)-(a+b)²]/4
=(a-b)²/4 ≥0，
所以原不等式成立。

x、y都是正数时，x³+y³≥2√(X³Y³)
这是利用了基本不等式a+b≥2√(ab).(令a=x³,b=y³即可得到)
令a=x^4,b=y^4亦可得到x^4+y^4≥2√(X^4Y^4)等等……