Question

证明：若pk>0(k=1,2,……)（p是下标）且 lim[pn/p1+p2+……+pn]=0,liman=a(都是n→∝)

证明：若pk>0(k=1,2,……)（p是下标）且
lim[pn/p1+p2+……+pn]=0,liman=a(都是n→∝)
则 lim{[p1an+p2a(n-1)+……+pna1]/p1+p2+……pn}=a.（极限是n→∝)
(注：1，2，……（n-1），n是下标）写出详细过程。
用极限定义证明。证明：若pk>0(k=1,2,……)（k是下标）且
lim[pn/(p1+p2+……+pn)]=0,liman=a(n是下标都是n→∝)
则 lim{[p1an+p2a(n-1)+……+pna1]/(p1+p2+……pn)}=a.（极限是n→∝)

Answer 1

首先x_n>0，利用平均值不等式可得：

x_{n+1} = (p-1)/p*(x_n)+a/p*(x_n)^(1-p) >= a^(1/p)。

再推出单调性：

x_{n+1}-x_n = [-(x_n)+a(x_n)^(1-p)]/p <= 0。

所以x_n递减有下界，必定收敛。

直接代递推关系求出极限为a^(1/p)。

代数学的起源：

代数学英文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。该著作名为“ilm al-jabr wa'1 muqabalah”，原意是“还原与对消的科学”。

这本书传到欧洲后，简译为algebra。清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》。

Answer 2