Question

证明：若pk>o(k=1,2,……)（p是下标）且 lim[pn/p1+p2+……+pn]=0,liman=a(都是n→∝)

证明：若pk>o(k=1,2,……)（p是下标）且
lim[pn/p1+p2+……+pn]=0,liman=a(都是n→∝)
则 lim{[p1an+p2a(n-1)+……+pna1]/p1+p2+……pn}=a.（极限是n→∝)
(注：1，2，……（n-1），n是下标）

Answer 1

把你要求极限的那个式子减去a，|p1an+p2a(n-1)+……+pna1]/（p1+p2+……pn）-a|<=
p1|（an-a）|+p2（|a(n-1)-a|）+……+pn（|a1-a|）]/（p1+p2+……pn）由前面给出的两个极限，可知任给ε，存在K，k大于K时，pn/p1+p2+……+pn<ε，|an-a|<ε.那么当n>2K+2时，把上面那个式子分成两部分，前半段由an的下标大于n/2-1的构成，后半部分由pn的下标大于n/2-1的构成，这样两部分之后将不小于原来的式子，对于第一部分，用|an-a|<ε来估计，对于第二部分，考虑到an是有界性，|an-a|<M,然后用pn的关系来估计，可知上述和小于（M+1）ε，从而极限成立。