Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c（a≠0）满足：①f（0）=0；②?x∈R，f（x）≥x；③f（ - 1 2 +x ）=

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c（a≠0）满足：①f（0）=0；②?x∈R，f（x）≥x；③f（ - 1 2 +x ）=f（ - 1 2 -x ）．（1）求f（x）的表达式；（2）试讨论函数g（x）=f（x）-2x在区间[-2，2]内的单调性；（3）是否存在实数t，使得函数h（x）=f（x）-x 2 -x+t与函数u（x）=|log 2 x|（x∈（0，2]）的图象恒有两个不同交点，如果存在，求出相应t的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由条件①得f（0）=c=0， 由③f（- 1 2 +x）=f（- 1 2 -x）知f（x）的对称轴x=- b 2a =- 1 2 ，即a=b， 由②?x∈R，f（x）≥x，即ax 2 +（a-1）x≥0，对?x∈R恒成立， ∴ a＞0 △=(a-1 ) 2 ≤0 ， 又（a-1） 2 ≥0，∴a=b=1， ∴f（x）=x 2 +x． （2）g（x）=f（x）-2x=x 2 -x，其图象为开口向上的抛物线且对称轴为x= 1 2 ， 所以g（x）在区间[-2， 1 2 ]上单调递减，在区间[ 1 2 ，2]上单调递增；．     （3）存在实数t，使两函数图象恒有两个交点，理由如下： h（x）=f（x）-x 2 -x+t=t， 又函数u（x）=|log 2 x|（x∈（0，2]）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，又u（1）=0，u（2）=1， ∴h（x）与u（x）恒有两个不同交点得实数t的取值范围是（0，1]．