Question

已知函数f（x）=x 2 +ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ

已知函数f（x）=x 2 +ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x 2 ，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）a=0时，曲线y=f（x）=x 2 -lnx， ∴f′（x）=2x- 1 x ，∴g′（1）=1，又f（1）=1 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0． （II） f ′ (x)=2x+a- 1 x = 2 x 2 +ax-1 x ≤0 在[1，2]上恒成立， 令h（x）=2x 2 +ax-1，有 h(1)≤0 h(2)≤0 得 a≤-1 a≤- 7 2 ， 得 a≤- 7 2 （II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3， g ′ (x)=a- 1 x = ax-1 x ①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x） min =g（e）=ae-1=3， a= 4 e （舍去）， ②当 0＜ 1 a ＜e 时，g（x）在 (0， 1 a ) 上单调递减，在 ( 1 a ，e] 上单调递增 ∴ g(x ) min =g( 1 a )=1+lna=3 ，a=e 2 ，满足条件． ③当 1 a ≥e 时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x） min =g（e）=ae-1=3， a= 4 e （舍去）， 综上，存在实数a=e 2 ，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．