Question

已知f（x）=ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）f（x）在x

已知f（x）=ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）当a=2时，f（x）=2x-lnx，函数的定义域为（0，+∞），
求导函数可得：f′（x）=2-

1

x

∴f′（1）=1，f（1）=2，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（II）∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=0，
∵f′（x）=a-

1

x

∴a-1=0，∴a=1，
∴f′（x）=1-

1

x

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；
∵x＞0，∴x＞1
∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
（III）假设存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，
①当a≤0时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=

4

e

（舍去）；
②当0＜

1

a

＜e时，f（x）在区间（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e]上单调递增
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，∴a=e²，满足条件；
③当

1

a

≥e时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=

4

e

（舍去），
综上所述，存在实数a=

4

e

，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3．