在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从

在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发.... 在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发.(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时,求点Q的坐标;(2)当P、Q运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时∠AQP的度数;(3)过点A作AC⊥AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点.在点P、Q的运动过程中,是否存在某时刻,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,试求出这时cot∠ABC的值;若不存在,试说明理由. 展开
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妥善又坦荡灬宠物K
2014-10-26
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解:(1)根据题意,可得:A(4,0)、B(0,3),AB=5.
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴BQ:AB=AB:AO.解得 BQ=
25
4

ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q (
25
4
,3)或Q(4,3).(4分)


(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又∵BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,
∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5.
∴AP=
1
2
BQ=
5
2

∴AE=AP=
5
2
=
1
2
AB,即点E是AB的中点.
过点E作EF⊥BQ,垂足为点F,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则 EF=
3
2
,PH=
3
2
,∴EF=PH.
又∵EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)


(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,
∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴AB:FA=AO:FH,即5:FA=4:3,
∴FA=
15
4

∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴AC=
5
4

在Rt△BAC中,tan∠ABC=
1
4

当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG
∵BQ∥OP,AD∥PC,
∴AG=PQ,
∴CQ=2PQ.
∴FC=2AF.
∴AC=
45
4

在Rt△BAC中,tan∠ABC=
9
4

即cot∠ABC=
1
tan∠ABC
=
4
9
(12分)
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