在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从
在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发....
在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发.(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时,求点Q的坐标;(2)当P、Q运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时∠AQP的度数;(3)过点A作AC⊥AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点.在点P、Q的运动过程中,是否存在某时刻,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,试求出这时cot∠ABC的值;若不存在,试说明理由.
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解:(1)根据题意,可得:A(4,0)、B(0,3),AB=5.
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴BQ:AB=AB:AO.解得 BQ=
;
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q (
,3)或Q(4,3).(4分)
(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又∵BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,
∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5.
∴AP=
BQ=
,
∴AE=AP=
=
AB,即点E是AB的中点.
过点E作EF⊥BQ,垂足为点F,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则 EF=
,PH=
,∴EF=PH.
又∵EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)
(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,
∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴AB:FA=AO:FH,即5:FA=4:3,
∴FA=
.
∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴AC=
.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=
;
当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG
∵BQ∥OP,AD∥PC,
∴AG=PQ,
∴CQ=2PQ.
∴FC=2AF.
∴AC=
.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=
.
即cot∠ABC=
=
(12分)
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴BQ:AB=AB:AO.解得 BQ=
25 |
4 |
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q (
25 |
4 |
(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又∵BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,
∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5.
∴AP=
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2 |
5 |
2 |
∴AE=AP=
5 |
2 |
1 |
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过点E作EF⊥BQ,垂足为点F,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则 EF=
3 |
2 |
3 |
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又∵EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)
(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,
∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴AB:FA=AO:FH,即5:FA=4:3,
∴FA=
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4 |
∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴AC=
5 |
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在Rt△BAC中,tan∠ABC=
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当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG
∵BQ∥OP,AD∥PC,
∴AG=PQ,
∴CQ=2PQ.
∴FC=2AF.
∴AC=
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在Rt△BAC中,tan∠ABC=
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即cot∠ABC=
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tan∠ABC |
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