已知两个向量组有相同的秩，且其中一组可由另一组线性表出。证明这两个向量组等价。
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证:
设n维向量组a1,a2,...,as可由向量组b1,b2,...,bt线性表示,
且
r(a1,a2,...,as)
=
r(b1,b2,...,bt).
由
向量组a1,a2,...,as可由b1,b2,...,bt线性表示
得
r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
=
r(b1,b2,...,bt)
而
r(a1,a2,...,as)
=
r(b1,b2,...,bt),
所以
r(a1,a2,...,as)
=
r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
所以
a1,a2,...,as
的极大无关组就是
a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt
的极大无关组
所以
a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt
可由
a1,a2,...,as
线性表示
所以
b1,b2,...,bt
可由
a1,a2,...,as
线性表示
所以两个向量组等价.
设n维向量组a1,a2,...,as可由向量组b1,b2,...,bt线性表示,
且
r(a1,a2,...,as)
=
r(b1,b2,...,bt).
由
向量组a1,a2,...,as可由b1,b2,...,bt线性表示
得
r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
=
r(b1,b2,...,bt)
而
r(a1,a2,...,as)
=
r(b1,b2,...,bt),
所以
r(a1,a2,...,as)
=
r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
所以
a1,a2,...,as
的极大无关组就是
a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt
的极大无关组
所以
a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt
可由
a1,a2,...,as
线性表示
所以
b1,b2,...,bt
可由
a1,a2,...,as
线性表示
所以两个向量组等价.
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