Question

证明:如果向量组1可由向量组2线性表出，那么向量组1的秩不超过向量组2的秩。

Answer 1

假设向量组1的极大无关组为α1、α2、...αm，向量组2的极大无关组为β1、β2、...βn，又因为向量组1可由向量组2线性表出，则α1、α2、...、αm，可由β1、β2、...、βn线性表出，设m＞n。

根据向量组A（s个向量）可由向量组B（t个向量）线性表出，且s＞t，则向量组A线性相关。则α1、α2、...、αm线性相关，与题设矛盾，故可得m＜＝n，即向量组1的秩小于等于向量组2的秩。

其中，线性表出：设α₁，α₂，…，αₑ(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量，若V中向量α可以表示为α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₐ∈P，a=1，2，…，e)，则称α是向量组α₁，α₂，…，αₑ的一个线性组合，亦称α可由向量组α₁，α₂，…，αₑ线性表示或线性表出。

扩展资料：

线性表出向量组的相关性质：

1、如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。

2、等价向量组具有传逆性、对称性、反身性；

3、向量组和它的极大线性无关组是等价向量组；