Question

高中双曲线问题

直线l:y=kx+1与双曲线C相交于 2x^-y^=1的右支于AB两点，求k的范围？
是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F，求出k的值？
第一问我会的说，不用解答了，第二问要详细，谢谢

Answer 1

直线l:y=kx+1与双曲线C相交于 2x^-y^=1的右支于AB两点，求k的范围？
是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F，求出k的值？
解析：∵直线l：y=kx+1==>y^2=k^2x^2+2kx+1
代入双曲线C： 2x^2-y^2=1
得, (2-k^2)x^2-2kx-2=0
由韦达定理知：x1+x2=2k/(2-k^2)，x1x2=-2/(2-k^2)
由题意知⊿AFB为直角三角形，即AF⊥FB
∵F(0, √6/2)
K(AF)=y1/(x1-√6/2), K(BF)=y2/(x2-√6/2)
y1y2/[(x1-√6/2)(x2-√6/2)]=[k^2x1x2+k(x1+x2)+1]/[x1x2-√6/2(x1+x2)+3/2]=-1
(k^2+1)x1x2+(k-√6/2)(x1+x2)+5/2=0

-2(k^2+1)/(2-k^2)+ 2k(k-√6/2)/(2-k^2)+5/2=0
(-2-√6k)/(2-k^2)+5/2=0
5k^2+2√6k-6=0
K1=-(6+√6)/5，K2=(6-√6)/5 (不合题意舍)
∴存在实数k=-(6+√6)/5，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F

Answer 2

k=-1.5 

详细过程见图。

Answer 3

图片先保存。。。放大后 看 。。。见图片，更详细