Question

高中双曲线

点P是双曲线x2/a2-y2/b2=1右支上一点，F1,F2为左右焦点，且焦距为2c，求△PF1F2的内切圆圆心的轨迹方程

Answer 1

设a为双曲线的半实轴，按双曲线的定义
|PF2|-|PF1|=2a
若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x,0),该点也是内切圆与横轴的切点。设B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点。考虑到同一点向圆引得两条切线相等：
则有：PF2-PF1=(PC+CF2)-(PB+BF1)
=CF2-BF1=AF2-F1A
=(c-x)-[x-(-c)]
=-2x=2a
x=-a
所以内切圆的圆心横坐标为-a，也就是在双曲线左支与X轴的交点上方。

该题已知条件给的有误，给出半实轴a即可，给出焦距2c，没有用。