Question

已知α，β∈（0，π/2），且sin（α＋2β）=7/5sinα求证tan（α＋β）=6tanβ

(1)求证:tan(α+β)=6tanβ
(2)若tanα=3tanβ,求α的值

Answer 1

(1)
原式可化为：
5sin[(α+β)+β]=7sin[(α+β)-β]
5sin(α+β)cosβ+5cos(α+β)sinβ=7sin(α+β)cosβ-7cos(α+β)sinβ
分子分母同除以cos(α+β)cosβ得：
5tan(α+β)+5tnaβ=7tan(α+β)-7tanβ
12tanβ=2tan(α+β)
tan(α+β)=6tanβ
(2)
6tanβ=tan(α+β)=tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=(3tanβ+tanβ)/[1-3tan^2(β)]
6tanβ=4tanβ/[1-3tan^2(β)]
3tanβ=2tanβ/[1-3tan^2(β)]
3tanβ-9tan^2(β)=2tanβ
tanβ=9tan^2(β)
tanβ≠0
1=9tan^2(β)
tanβ>0
1=3tanβ
tanα=3tanβ=1
α=π/4

Answer 2

sin（α＋2β）=7/5sinα
sin[（α＋β）+β]=7/5sin[（α＋β）-β]
5sin（α＋β）cosβ+5cos（α＋β）sinβ=7sinαsin（α＋β）cosβ-7cos（α＋β）sinβ
2sinαsin（α＋β）cosβ=12cos（α＋β）sinβ
sinαsin（α＋β）cosβ=6cos（α＋β）sinβ
sin（α＋β）/cos（α＋β）=6sinβ/cosβ
所以，tan（α＋β）=6tanβ