Question

已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1 -a n ，其中n=1，2，3，… （Ⅰ）若a 1 =1，b n =n，求数列{a n }

已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1 -a n ，其中n=1，2，3，… （Ⅰ）若a 1 =1，b n =n，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n+1 b n-1 =b n （n≥2），且b 1 =1，b 2 =2，（ⅰ）记c n =a 6n-1 （n≥1），求证：数列{c n }为等差数列；（ⅱ）若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1 应满足的条件。

Answer 1

解：（Ⅰ）当n≥2时， 有 ， 又因为 也满足上式， 所以数列{a n }的通项为 ； （Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n∈N*有 ， 所以 ， 所以数列{c n }为等差数列； （ⅱ）设 （其中i为常数且i∈ ）， 所以 ， 所以数列 均为以7为公差的等差数列， 设 ， （其中n=6k+i（k≥0），i为 中的一个常数）， 当 时，对任意的n=6k+i有 ； 当 时， ， ①若 ，则对任意的k∈N有 ，所以数列 为单调减数列； ②若 ，则对任意的k∈N有 ，所以数列 为单调增数列； 综上：设集合 ， 当 时，数列 中必有某数重复出现无数次； 当 时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次。