Question

已知数列{a n }和{b n }满足：a 1 =λ，a n+1 = 2 3 a n +n ，b n =（-1） n （a n -3n+9

已知数列{a n }和{b n }满足：a 1 =λ，a n+1 = 2 3 a n +n ，b n =（-1） n （a n -3n+9），其中λ为实数，n为正整数．（1）若数列{a n }前三项成等差数列，求λ的值；（2）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设0＜a＜b，S n 为数列{b n }的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n ＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵a 1 =λ，∴ a 2 = 2 3 a 1 +1 = 2 3 λ+1 ， a 3 = 2 3 a 2 +2 = 2 3 ( 2 3 λ+1)+2 = 4 9 λ+ 8 3 ． ∵数列{a n }前三项成等差数列，∴2a 2 =a 1 +a 3 ， ∴ 2( 2 3 λ+1)=λ+ 4 9 λ+ 8 3 ，解得λ=-6． ∴λ的值为-6． （2）由（1）可知：若λ=-6，则a n =-6+3（n-1）=3n-9，此时b n =0不是等比数列； 当λ≠-6时，a n ≠3n-9． b n+1 =(-1 ) n+1 [ a n+1 -3(n+1)+9] = (-1 ) n+1 ( 2 3 a n +n-3n+6) = - 2 3 ×(-1 ) n ( a n -3n+9) =- 2 3 b n ． 又b 1 =-（a 1 -3+9）=-λ-6≠0， ∴数列{b n }是以-λ-6为首项， - 2 3 为公比的等比数列． （3）由（1）（2）可知：①当λ=-6时，b n =0，对于给定的0＜a＜b，对任意正整数n，0＜a＜S n ＜b不成立． ②当λ≠-6时，假设存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n ＜b成立． 由（2）可知：数列{b n }是以-λ-6为首项， - 2 3 为公比的等比数列，∴ b n =(-λ-6)×(- 2 3 ) n-1 = (-1 ) n (λ+6)?( 2 3 ) n-1 ． ∴S n =（-λ-6） [1- 2 3 +(- 2 3 ) 2 +…+(- 2 3 ) n-1 ] = (-λ-6)? 1-(- 2 3 ) n 1-(- 2 3 ) = 3(-λ-6) 5 [1-(- 2 3 ) n ] ． 当n→+∞时， (- 2 3 ) n →0． 当λ＞-6时，S n ＜0，此时对任意正整数n，a＜S n ＜b不成立． 当λ＜-6时，n=2k（k∈N * ）时，∵ 5 9 ＜1-(- 2 3 ) 2k ＜1 ，∴0＜ -λ-6 3 ＜ S n ＜ 3(-λ-6) 5 ； n=2k-1（k∈N * ）时， 1＜1-(- 2 3 ) 2k-1 ＜ 5 3 ，∴ 0＜ 3(-λ-6) 5 ＜ S n ＜(-λ-6) ． ∵ 0＜ -λ-6 3 ＜ 3(-λ-6) 5 ＜（-λ-6）． ∴对于任意正整数n， 0＜ -λ-6 3 ＜ S n ＜-λ-6 ． ∵设0＜a＜b，S n 为数列{b n }的前n项和，使得对任意正整数n，都有a＜S n ＜b． ∴必有 a≤ -λ-6 3 b≥-λ-6 ，解得-6-b≤λ≤-3a-6. (a≤ b 3 ) ．