Question

已知数列{a n }和{b n }满足：a 1 =λ， a n+1 = 2 3 a n +n-4， b n =(-1 ) n (

已知数列{a n }和{b n }满足：a 1 =λ， a n+1 = 2 3 a n +n-4， b n =(-1 ) n ( a n -3n+21) ，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b，S n 为数列{b n }的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n ＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 2 2 =a 1 a 3 ，即 ( 2 3 λ-3 ) 2 =λ( 4 9 λ-4)? 4 9 λ 2 -4λ+9= 4 9 λ 2 -4λ?9=0 ，矛盾． 所以{a n }不是等比数列． （Ⅱ）因为b n+1 =（-1） n+1 [a n+1 -3（n+1）+21]=（-1） n+1 （ 2 3 a n -2n+14） = 2 3 （-1） n ?（a n -3n+21）=- 2 3 b n 又b 1 =-（λ+18），所以 当λ=-18，b n =0（n∈N + ），此时{b n }不是等比数列： 当λ≠-18时，b 1 =（λ+18）≠0，由上可知b n ≠0， ∴ b n+1 b n =- 2 3 （n∈N + ）． 故当λ≠-18时，数列{b n }是以-（λ+18）为首项，- 2 3 为公比的等比数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18，b n =0，S n =0，不满足题目要求． ∴λ≠-18，故知b n =-（λ+18）?（- 2 3 ） n-1 ，于是可得 S n =- n i=1 i 4 = 1 5 n 4 + 1 2 n 4 + 1 3 n 3 - 1 30 n ， 要使a＜S n ＜b对任意正整数n成立， 即a＜- 3 5 （λ+18）?[1-（- 2 3 ） n ]＜b（n∈N + ） 得 a 1- (- 2 3 ) n ＜- 3 5 (λ+18)＜ b 1- (- 2 3 ) n 令f(n)=1-(- 2 3 ) n ，则 ① 当n为正奇数时，1＜f（n）≤ 5 3 ；当n为正偶数时， 5 9 ≤f(n)＜1 ， ∴f（n）的最大值为f（1）= 5 3 ，f（n）的最小值为f（2）= 5 9 ，． 于是，由①式得 5 9 a＜- 3 5 （λ+18）＜ 3 5 b?-b-18＜λ＜-3a-18 ． 当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求； 当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n ＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）