Question

已知数列{a n }、{b n }满足： a 1 = 1 4 ， b n+1 = b n 1- a n2

已知数列{a n }、{b n }满足： a 1 = 1 4 ， b n+1 = b n 1- a n2 a n +b n =1．（1）求证：数列{ 1 b n-1 }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）设s n =a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 4 +…a n a n+1 ，若4aS n ＜b n 对于n∈N * 恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由a n +b n =1，得b n =1-a n ， 依题意 b n+1 = b n 1- a 2n = 1- a n (1- a n )(1+ a n ) = 1 1+ a n ∴ 1 b n+1 -1 - 1 b n -1 = 1 1 1+ a n -1 - 1 1- a n -1 =- 1 a n -1+ 1 a n =-1 ∵ a 1 = 1 4 ，∴ b 1 = 3 4 ， 1 b 1 -1 =-4 ，∴数列 { 1 b n -1 } 是以-4为首项公差为-1的等差数列 （2）由（1）知 1 b n -1 =-4+(n-1)(-1)=-n-3 ， 则 b n =- 1 n+3 +1= n+2 n+3 ， a n =1- b n =1- n+2 n+3 = 1 n+3 （3）S n =a 1 a 2 +a 2 a 3 +…+a n a n+1 = 1 4×5 + 1 5×6 + 1 (n+3)?(n+4) = 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + 1 n+3 - 1 n+4 = 1 4 - 1 n+4 = n 4(n+4) ∴4aS n -b n = an n+4 - n+2 n+3 = (a-1) n 2 +(3a-6)n-8 (n+3)(n+4) 依题意可知（a-1）n 2 +（3a-6）n-8＜0恒成立，令f（n）=（a-1）n 2 +（3a-6）n-8 当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立 当a＞1时，由二次函数性质知f（n）＜0不可能成立 当a＜1时，此二次函数的对称轴为 x=- 3a-6 2(a-1) =- 3 2 (1- 1 a-1 )＜0 则f（n）在n∈N * 上是单调递减，∴要使f（n）＜0对n∈N * 恒成立 必须且只须f（1）＜0即4a-15＜0，∴ a＜ 15 4 ，又a＜1∴a＜1 综上a≤1，4aS n ≤b n 对于n∈N * 恒成立．