已知数列{a n }与{b n }满足b n+1 a n +b n a n+1 =（-2） n +1，b n = 3+( -1) n-1 2 ，
已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（-2）n+1，bn=3+(-1)n-12，n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设cn=a2n+1...
已知数列{a n }与{b n }满足b n+1 a n +b n a n+1 =（-2） n +1，b n = 3+( -1) n-1 2 ，n∈N * ，且a 1 =2．（Ⅰ）求a 2 ，a 3 的值（Ⅱ）设c n =a 2n+1 -a 2n-1 ，n∈N * ，证明{c n }是等比数列（Ⅲ）设S n 为{a n }的前n项和，证明 S 1 a 1 + S 2 a 2 +…+ S 2n-1 a 2n-1 + S 2n a 2n ≤n- 1 3 （n∈N * ）
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（Ⅰ）由b n =
又b n+1 a n +b n a n+1 =（-2） n +1， 当n=1时，a 1 +2a 2 =-1，可得由a 1 =2，a 2 =-
当n=2时，2a 2 +a 3 =5可得a 3 =8； （Ⅱ）证明：对任意n∈N * ， a 2n-1 +2a 2n =-2 2n-1 +1…① 2a 2n +a 2n+1 =2 2n +1…② ②-①，得a 2n+1 -a 2n-1 =3×2 2n-1 ，即：c n =3×2 2n-1 ，于是
所以{c n }是等比数列． （Ⅲ）证明： a1=2，由（Ⅱ）知，当k∈N * 且k≥2时， a 2k-1 =a 1 +（a 3 -a 1 ）+（a 5 -a 3 ）+（a 7 -a 5 ）+…+（a 2k-1 -a 2k-3 ） =2+3（2+2 3 +2 5 +…+2 2k-3 ）=2+3×
故对任意的k∈N * ，a 2k-1 =2 2k-1 ． 由①得2 2k-1 +2a 2k =-2 2k-1 +1，所以 a 2k =
因此， S 2k =( a 1 + a 2 )+( a 3 + a 4 )+…+( a 2k-1 + a 2k ) =
于是， S 2k-1 = S 2k - a 2k =
故
= 1-
所以，对任意的n∈N * ，
= (1-
= n-(
=n- (
≤n- (
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