Question

已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1 -a n ，其中n=1，2，3，… (1)若a 1 =1，b n =n，求数列{a n }的

已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1 -a n ，其中n=1，2，3，… (1)若a 1 =1，b n =n，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n+1 b n-1 =b n (n≥2)，且b 1 =1，b 2 =2，①记c n =a 6n-1 (n≥1)，求证：数列{c n }为等差数列；②若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1 应满足的条件。

Answer 1

解：(1)当n≥2时， ， 又因为a 1 =1也满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为 。 (2)①因为对任意的n∈N*，可得 b n ， 即数列{b n }各项的值重复出现，周期为6． 数列{b n }的前6项分别为1，2，2，1， ， 所以 ， 所以数列{c n }为等差数列。 ②设 (k≥0)(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})， 所以 ， 所以数列 (k∈N，i∈{1，2，3，4，5，6})均为以7为公差的等差数列， 设 (其中n=6k+i(k≥0)，i∈{1，2，3 ，4，5 ，6})， 当 时，对任意的n=6k+i有 ； 当 时， ， 若 ，则对任意的k∈N有 ，所以数列 为单调减数列； 若 ，则对任意的k∈N有 ，所以数列 为单调增数列； 综上：设集合 ， 当a 1 ∈B时，数列中必有某数重复出现无数次； 当a 1 B时， (i=1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次， 所以数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次， 故所求a 1 应满足的条件为 。