Question

已知数列{a n }与{b n }满足 b n+1 a n + b n a n+1 =(-2 ) n +1， b n = 3+ (

已知数列{a n }与{b n }满足 b n+1 a n + b n a n+1 =(-2 ) n +1， b n = 3+ (-1) n-1 2 ，n∈ N * ，且 a 1 =2 ． （Ⅰ）求a 2 ，a 3 的值； （Ⅱ）设c n =a 2n+1 -a 2n-1 ，n∈N * ，证明{c n }是等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）由
b
n
=
3+
(-1)
n-1
2
，n∈
N
*
，可得
b
n
=
2，n为奇数
1，n为偶数
又因为b
n+1
a
n
+b
n
a
n+1
=（-2）
n
+1，
当
n=1时，
a
1
+2
a
2
=-1，由
a
1
=2，可得
a
2
=-
3
2
；
当n=2时，2a
2
+a
3
=5，可得a
3
=8．
（Ⅱ）证明：对任意n∈N
*
都有：a
2n-1
+2a
2n
=-2
2n-1
+1…①
并且有：2a
2n
+a
2n+1
=2
2n
+1…②
②-①，得a
2n+1
-a
2n-1
=3×2
2n-1
，即c
n
=3×2
2n-1
，
于是
c
n+1
c
n
=4
，
所以{c
n
}是等比数列．