Question

已知数列{a n }与{b n }满足 b n+1 a n + b n a n+1 =(-2 ) n +1， b n = 3+ (

已知数列{a n }与{b n }满足 b n+1 a n + b n a n+1 =(-2 ) n +1， b n = 3+ (-1) n-1 2 ，n∈ N * ，且 a 1 =2 ．（Ⅰ）求a 2 ，a 3 的值；（Ⅱ）设c n =a 2n+1 -a 2n-1 ，n∈N * ，证明{c n }是等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）由 b n = 3+ (-1) n-1 2 ，n∈ N * ，可得 b n = 2，n为奇数 1，n为偶数 又因为b n+1 a n +b n a n+1 =（-2） n +1， 当 n=1时， a 1 +2 a 2 =-1，由 a 1 =2，可得 a 2 =- 3 2 ； 当n=2时，2a 2 +a 3 =5，可得a 3 =8． （Ⅱ）证明：对任意n∈N * 都有：a 2n-1 +2a 2n =-2 2n-1 +1…① 并且有：2a 2n +a 2n+1 =2 2n +1…② ②-①，得a 2n+1 -a 2n-1 =3×2 2n-1 ，即c n =3×2 2n-1 ， 于是 c n+1 c n =4 ， 所以{c n }是等比数列．