Question

已知数列{ a n }和{ b n }满足： a 1 ＝ λ ， a n ＋1 ＝ a n ＋ n －4， b n ＝(－1) n ( a

已知数列{ a n }和{ b n }满足： a 1 ＝ λ ， a n ＋1 ＝ a n ＋ n －4， b n ＝(－1) n ( a n －3 n ＋21)，其中 λ 为实数， n 为正整数．(1)对任意实数 λ ，证明：数列{ a n }不是等比数列；(2)试判断数列{ b n }是否为等比数列，并证明你的结论．

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

(1)假设存在一个实数 λ ，使{ a n }是等比数列，则有 ＝ a 1 a 3 ，即 2 ＝ λ ? λ 2 －4 λ ＋9＝ λ 2 －4 λ ?9＝0，矛盾，所以{ a n }不是等比数列． (2)因为 b n ＋1 ＝(－1) n ＋1 [ a n ＋1 －3( n ＋1)＋21]＝(－1) n ＋1 ＝－ (－1) n ·( a n －3 n ＋21)＝－ b n .又 b 1 ＝－( λ ＋18)，所以当 λ ＝－18时， b n ＝0( n ∈N * )，此时{ b n }不是等比数列； 当 λ ≠－18时， b 1 ＝－( λ ＋18)≠0，由 b n ＋1 ＝－ b n . 可知 b n ≠0，所以 ＝－ ( n ∈N * )．故当 λ ≠－18时， 数列{ b n }是以－( λ ＋18)为首项，－ 为公比的等比数列．