Question

已知数列{a n }、{b n }满足： a 1 = 1 4 ， a n + b n =1， b n+1 = b n

已知数列{a n }、{b n }满足： a 1 = 1 4 ， a n + b n =1， b n+1 = b n 1- a 2n ．（1）求b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 ；（2）猜想数列{b n }的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）b n+1 = b n 1- a 2n = b n (1 -a n )(1 +a n ) = b n b n (2- b n ) = 1 2- b n ， ∵a 1 = 1 4 ，b 1 = 3 4 ， ∴b 2 = 4 5 ，b 3 = 5 6 ，b 4 = 6 7 ，…4分 （2）猜想b n = n+2 n+3 ，下面用数学归纳法证明…5分 ①当n=1时，b 1 = 3 4 = 1+2 1+3 ，命题成立，…6分 ②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即b k = k+2 k+3 ； 那么当n=k+1时，b k+1 = 1 2- b k = 1 2- k+2 k+3 = k+3 k+4 = (k+1)+2 (k+1)+3 ； ∴当n=k+1时命题也成立； 由①②知，对任意正整数命题都成立…8分