Question

已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC

已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC．

Answer 1

解答：证明：如图，延长AD至F，使得CF⊥AC．
∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
在△ABM与△CAF中，

∠ABM＝∠DAC AB＝CA ∠BAM＝∠ACF

，
∴△ABM≌△CAF（ASA），
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
在△FCD与△MCD中，

CM＝CF ∠MCD＝∠FCD CD＝CD

，
∴△FCD≌△MCD（SAS），
∴∠F=∠CMD，
∴∠AMB=∠DMC．

Answer 2

证明：过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F
∵∠BAC＝90,AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝45,∠ABM+∠AMB＝90
∵AD⊥BM
∴∠CAF+∠AMB＝90
∴∠CAF＝∠ABM
∵CF⊥AC
∴∠ACF＝∠BAC＝90
∴△ABM≌△CAF （ASA）
∴∠F＝∠AMB.AM＝CF
∵M是AC的中点
∴CM＝AM
∴CM＝CF
∵∠FCD＝∠ACF-∠ACB＝90-45＝45
∴∠FCD＝∠ACB
∵CD＝CD
∴△CFD≌△CMD （SAS）
∴∠F＝∠CMD
∴∠AMB＝∠CMD