Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D．（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）①作△AB

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D．（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）①作△ABC外角∠CAM的平分线AN．②过C作CE⊥AN，垂足为点E．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

Answer 1

（1）如图，AN、CE分别为所求； （2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由如下： ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC． ∵由作图知AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN． ∴∠DAN=∠DAC+∠CAN= 1 2 ×180°=90°． ∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形ADCE为矩形． ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ACB=∠B=45°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD=∠ACD=45°， ∴DC=AD， ∴矩形ADCE是正方形．