Question

如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点, （1）求证：AC 2 ＝AB?AD;（2）求证：

如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点, （1）求证：AC 2 ＝AB?AD;（2）求证：CE∥AD;（3）若AD＝4,AB＝6,求 的值．

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Answer 1

（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3） ．

试题分析:（1）由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得AC 2 =AB?AD; （2）由E为AB的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得CE= AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD; （3）易证得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得 的值． 试题解析:（1）证明:∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB, ∵∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ADC∽△ACB, ∴AD:AC=AC:AB, ∴AC 2 =AB?AD; （2）证明:∵E为AB的中点, ∴CE= AB=AE, ∴∠EAC=∠ECA, ∵∠DAC=∠CAB, ∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD; （3）解:∵CE∥AD, ∴△AFD∽△CFE, ∴AD:CE=AF:CF, ∵CE= AB, ∴CE= ×6=3, ∵AD=4, ∴ , ∴ ． 考点:1.相似三角形的判定与性质,2.直角三角形斜边上的中线．