已知A,B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左右顶点,B(2,0)过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆与M,N,交直
已知A,B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左右顶点,B(2,0)过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆与M,N,交直线x=4于点P,且直线PA,PF,PB的斜率成等...
已知A,B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左右顶点,B(2,0)过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆与M,N,交直线x=4于点P,且直线PA,PF,PB的斜率成等差数列,T(14,0)点是定点(1)求椭圆C的方程;(2)求三角形MNT面积的最大值.
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法元亮2d
推荐于2016-12-01
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(1)∵A,B是椭圆C:
+
=1(a>b>0)左右顶点,B(2,0),
∴a=2,
设直线PF的斜率为k,设右焦点F坐标为(c,0)
则PF的方程为y=k(x-c)
P点坐标为(4,4k-kc),PA的斜率为
(4k-kc),
PB斜率为
(4k-kc),
∵直线PA,PF,PB的斜率成等差数列
∴2k=
(4k-kc)+
(4k-kc),
解得c=1,
∴b=
=
,
∴椭圆C的方程为
+=1.(7分)
(2)设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),直线MN:x=my+1与椭圆联立,
得(3m
2+4)y
2+6my-9=0,
|y
1-y
2|
2=
+
=144
,(12分)
令t=m
2+1≥1,则|y
1-y
2|
2=144
=144
≤9,
故(S
△MNT)
max=
××3=.(14分)
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