Question

二次函数综合题求解答

Answer 1

如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=5/4x+m的图像与X轴交于A(-1,0)，与Y轴交于C，以直线x=2为对称轴的抛物线C1：y=ax2+bx+c(a≠0）经过A,C二点，并与X正半轴交于点B。
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设点D(0,25/12)，若F是抛物线C1对称轴上使得⊿ADF周长取得最小值的点，过F任意作一条与Y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1)，M2(x2,y2)二点，探究1/M1F+1/M2F是否为定值？请说明理由；
（3）将抛物线C1作适当平移，得抛物线C2：y2=-1/4(x-h)^2，h>1，若当1<x<=m时，y2>=-x恒成立，求m的最大值。

（1）解析：∵一次函数y=5/4x+m的图像与X轴交于A(-1,0)，
∴0=-5/4+m==>m=5/4==>C(0,5/4)
∵抛物线C1：y=ax2+bx+c(a≠0）经过A,C二点，对称轴x=2，与X正半轴交于点B
∴B(2+(2-(-1)),0)=B(5,0)
设y=-a(x+1)(x-5)==> y(0)=-a(0+1)(0-5)=5/4==>a=1/4
∴y=-1/4(x+1)(x-5)=-1/4x^2+x+5/4
∴m=5/4，抛物线的解析式为y=-1/4x^2+x+5/4；
（2）解析：要使得⊿ADF周长取得最小值，只须AF+DF最小
连接BD交抛物线对称轴于F
∵D(0,25/12)，B(5,0)
BD方程为y=-5/12x+25/12==>y(2)=5/4
∴F(2,5/4)
设过F的直线M1M2的解析式为y=kx+b
∴2k+b=5/4==>b=5/4-2k
∴直线M1M2的解析式为y=kx+5/4-2k
令kx+5/4-2k=-1/4x^2+x+5/4
==>x^2-(4-4k)x-8k=0
由韦达定理得x1+x2=4-4k，x1x2=-8k
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
(y1-y2)=k(x1-x2)
∴M1M2=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]= √(1+k^2) √[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2) √[(4-4k)^2+32k]
=4(1+k^2)
M1F=√[(x1-2)^2+(y1-5/4)^2] =√[(x1-2)^2+(kx1+5/4-2k-5/4)^2]
=√(x1-2)^2*√(1+k^2)
同理得M2F=√(x2-2)^2*√(1+k^2)
∴M1F*M2F=(1+k^2)|x1-2||x2-2|
=(1+k^2)|x1x2-2(x1+x2)+4|
=4(1+k^2)=M1M2
1/M1F+1/M2F=(M1F+M2F)/(M1F*M2F)
∵F(2,5/4)，抛物线的最大值为9/4>5/4
∴M1,M2在对称轴两侧
∴M1F+M2F=M1M2=M1F*M2F
∴1/M1F+1/M2F=1
（3）解析：∵抛物线y=-1/4x^2+x+5/4=-1/4(x-2)^2+9/4
将抛物线作适当平移，使得抛物线C2为y2=-1/4(x-h)^2，h>1，当1<x<=m时，y2>=-x恒成立，
即当1<x<=m时，-1/4(x-h)^2+x>=0恒成立，
令g(x)= -1/4(x-h)^2+x
g(1)= -1/4(1-h)^2+1=0==>(1-h)^2=4==>h=3或h=-1（舍）
∴g(x)= -1/4(x-3)^2+x=0==>(x-3)^2+4x=0==>x1=1,x2=9，
∴m的最大值为9