Question

已知函数f（x）=e2x+1-ax+1，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+ey+1=0垂直，

已知函数f（x）=e2x+1-ax+1，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+ey+1=0垂直，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设a＜2e3，当x∈[0，1]时，都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

f′（x）=2e^2x+1-a，
（1）由题意知：f′（0）=2e-a=e，得a=e；
（2）当a≤0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，由：f′（x）=2e^2x+1-a＞0，得x＞

1

2

ln

a

2

?

1

2

，
∴f（x）在(

1

2

ln

a

2

?

1

2

，+∞)上单调递增，
由：f′（x）=2e^2x+1-a＜0，得x＜

1

2

ln

a

2

?

1

2

，
∴f（x）在（-∞，

1

2

ln

a

2

?

1

2

）上单调递减，
综上：当a≤0时，f（x）的单调递增为R，
当a＞0时，f（x）的单调递增为(

1

2

ln

a

2

?

1

2

，+∞)，单调递减区间为（-∞，

1

2

ln

a

2

?

1

2

），
（3）由f（x）≥1得，e^2x+1≥ax，当x=0时，不等式成立，当x∈（0，1]时，a≤

e2x+1

x

，
令g(x)＝

e2x+1

x

，则g′(x)＝

(2x?1)e2x+1

x2

，易知，当x＜

1

2

时g′（x）＜0，当x＞

1

2

时g′（x）＞0，
∴g（x）在(0，

1

2

)上单调递减，在(

1

2

，1)上单调递增，
∴g（x）的最小值为g(

1

2

)＝2e2，
∴a的取值范围为（-∞，2e²]．