Question

已知函数f（x）=ax?lnx+b（a，b∈R），在点（e，f（e））处的切线方程是2x-y-e=0（e为自然对数的底）．（

已知函数f（x）=ax?lnx+b（a，b∈R），在点（e，f（e））处的切线方程是2x-y-e=0（e为自然对数的底）．（1）求实数a，b的值及f（x）的解析式；（2）若t是正数，设h（x）=f（x）+f（t-x），求h（x）的最小值；（3）若关于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k 2 -72k）对一切x∈（0，6）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）依题意有2e-f（e）-e=0，∴f（e）=e ∵f（x）=ax?lnx+b，∴f′（x）=alnx+a+b ∴f′（e）=alne+a+b=2，∴2a+b=2，∴b=2-2a ∵点（e，f（e））在函数f（x）=ax?lnx+b上 ∴f（e）=aelne+b=ae+b=e ∴ae+2-2a=e，∴a=1 ∴b=0，∴f（x）=xlnx； 故实数a=1，b=0，f（x）=xlnx                          …（4分） （2）h（x）=f（x）+f（t-x）=xlnx+（t-x）ln（t-x），h（x）的定义域为（0，t）；…（5分） h′（x）=lnx+1-[ln（t-x）+1]=ln x t-x             …（6分） 由h′（x）＞0得 t 2 ＜x＜t ；h′（x）＜0得 0＜x＜ t 2 …（8分） ∴h（x）在 ( t 2 ，t) 上是增函数，在（0， t 2 ）上是减函数 ∴h（x） min =h（ t 2 ）=tln t 2 …（10分） （3）∵xlnx+（6-x）ln（6-x）=f（x）+f（6-x）=h（x） 由（2）知，h（x） min =h（ t 2 ）=tln t 2 ，∴t=6，h（x） min =h（3）=6ln3=ln729 ∵关于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k 2 -72k）对一切x∈（0，6）恒成立， ∴ln（k 2 -72k）≤ln729 ∴ k 2 -72k＞0 k 2 -72k≤729 ∴-9≤k＜0或72＜k≤81…（13分） 故实数k的取值范围为[-9，0）∪（72，81]．…（14分）