Question

（2013?高淳县一模）已知二次函数y=x2-mx+m-2．（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有

（2013?高淳县一模）已知二次函数y=x2-mx+m-2．（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）若该二次函数的图象过点（-1，3）．①求该二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标；②在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；③直接写出，当y＜0时x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵△=m²-4（m-2）=m²-4m+4+4=（m-2）²+4≥4＞0，
∴x²-mx+m-2=0一定有两个不等的实数解，
∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）解：①把x=-1，y=3，代入y=x²-mx+m-2，解得m=2，
则二次函数的关系式为y=x²-2x．
配方得y=（x-1）²-1，所以，顶点坐标为（1，-1）．  
②根据抛物线解析式y=x²-2x=x²-2x知，该图象与坐标轴轴的交点是（0，0），（0，2），顶点坐标是（1，-1）．所以其图象如图所示：
；

③根据②中的图象知，当y＜0时，x的取值范围为：0＜x＜2．