Question

已知二次函数y=x2-2(m+1)x+m(m+2)求证，无论m为任何实数,该函数图象与x轴两个交点之间为定值

Answer 1

设二次函数y=(x^2)-2(m+1)x+m(m+2)与x轴相交的两交点的横坐标为别为x[1]，x[2]（x[1]>x[2]）
两交点的距离可以表示为d=x[1]-x[2]
∴x[1]-x[2]
=[
√(((x[1]-x[2])^2))=√((x[1]^2)+(x[2]^2)-2x[1]x[2
])
=√(((x[1]+x[2])^2)--2x[1]x[2
]--2x[1]x[2
]
)
=√(((x[1]+x[2])^2)--4x[1]x[2])
]

因为x[1]+x[2]=2（m+1）
x[1]x[2]=m（m+2）

∴上式得√(4((m+1)^2)-4m（m+2）
)
=√(4((m^2)+2m+1)-4（(m^2)+2m）)

=√((4m^2)+8m+4-(4m^2)-8m
)
=
√(4
)
=2为定值

∴无论m取任何实数，该函数图象与x轴两交点的距离为定值，且定值等于2.

Answer 2

二次函数两交点的距离d=根号判别式除二次项糸数的绝对值。