Question

已知a为常数，函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（　　）A．f（x2）＜1?2ln24B

已知a为常数，函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（　　）A．f（x2）＜1?2ln24B．f（x2）＞1?2lnx4C．f（x2）＞2ln2+38D．f（x2）＜3ln2+48

Answer 1

∵f（x）=x²+aln（1+x），
∴f′（x）=

2x2+2x+a

1+x

（x＞-1）
令g（x）=2x²+2x+a，则g（0）=a＞0，∴-

1

2

＜x₂＜0，a=-（2x²₂+2x₂），
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）．
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-

1

2

，
则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
（1）当x∈（-

1

2

，0）时，h′（x）＞0，∴h（x）在[-

1

2

，0）单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．
∴x∈（-

1

2

，0），h（x）＞h（-

1

2

）=

1?2ln2

4

；
故f（x₂）=h（x₂）＞

1?2ln2

4

．
故选：B．

Answer 2

不仅．f（x2）＞(1-2ln2 )/4
．而且f（x1）＞(1-2ln2)/4