Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．（1）求点B的

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．（1）求点B的坐标；（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；（3）设抛物线的对称轴为直线l，P是直线l上的一点，且△PAB的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标．

Answer 1

（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90度．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD．（1分）
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（2分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．（4分）

（2）因抛物线过原点，
故设所求抛物线的解析式为：y=ax²+bx．
将A（-3，1），B（1，3）两点代入得，

a+b＝3 9a?3b＝1

，
解得a＝

5

6

；b＝

13

6

．（6分）
故所求抛物线的解析式为：y＝

5

6

x2+

13

6

x．（8分）

（3）设直线AB的方程为y=kx+b₁，那么有：

?3k+b1＝1 k+b1＝3

，
解得k＝

1

2

，b1＝

5

2

．
故直线AB的方程为：y＝

1

2

x+

5

2

．
∴OE＝

5

2

．（9分）
抛物线y＝

5

6

x2+

13

6

x的对称轴l的方程是：x＝?

b

2a

＝?

13

10

，

y＝ 1 2 x+ 5 2 x＝? 13 10

，
解得

x＝? 13 10 y＝ 37 20

．
∴F点坐标为(?

13

10

，

37

20

)．（10分）
∵l∥y轴，△PAB的面积等于△ABO的面积，
∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离．
即OG=P₁H=P₂M（P点有两种情况）．
则过原点O与AB平行的直线的解析式是y=

1

2

x．
函数y=

1

2

x与抛物线的交点坐标是即P1(?

13

10

，?

13

20

)，
而P₁关于F点的对称点P2(?

13

10

，

87

20

)．也是满足条件的点．