如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分∠BDC交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分∠BDC交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为N.(1)当∠CAD=∠ACD时,求证...
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分∠BDC交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为N.(1)当∠CAD=∠ACD时,求证:DE∥AC;(2)当点D运动到什么位置时,△BME与以C,N,E为顶点的三角形相似?求出此时AD的长.
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解答:(1)证明:∵∠DAC=∠DCA,
∴∠BDC=2∠DAC,
∵DE是∠BDC的平分线,
∴∠BDC=2∠BDE,
∴∠DAC=∠BDE,
∴DE∥AC,
(2)解:(I)当△BME∽△CNE时,得∠MBE=∠NCE,
∴BD=DC,
∵DE平分∠BDC,
∴DE⊥BC,BE=EC,
又∠ACB=90°,
∴DE∥AC,
∴
=
即BD=
AB=
=5,
∴AD=5,
(II)当△BME∽△ENC时,得∠EBM=∠CEN,
∴EN∥BD,
∵EN⊥CD,
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高,
由三角形面积公式得AB?CD=AC?BC,
∴CD=
,
∴AD=
=
,
综上,当AD=5或
时,△BME与△CNE相似.
∴∠BDC=2∠DAC,
∵DE是∠BDC的平分线,
∴∠BDC=2∠BDE,
∴∠DAC=∠BDE,
∴DE∥AC,
(2)解:(I)当△BME∽△CNE时,得∠MBE=∠NCE,
∴BD=DC,
∵DE平分∠BDC,
∴DE⊥BC,BE=EC,
又∠ACB=90°,
∴DE∥AC,
∴
BE |
BC |
BD |
AB |
1 |
2 |
1 |
2 |
AC2+BC2 |
∴AD=5,
(II)当△BME∽△ENC时,得∠EBM=∠CEN,
∴EN∥BD,
∵EN⊥CD,
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高,
由三角形面积公式得AB?CD=AC?BC,
∴CD=
24 |
5 |
∴AD=
AC2?CD2 |
18 |
5 |
综上,当AD=5或
18 |
5 |
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