Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N。 （1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等。

Answer 1

解：（1）∵ ∴ ∴ 又∵DE是∠BDC的平分线 ∴∠BDC=2∠BDE ∴∠DAC=∠BDE ∴DE∥AC。 （2）（i）当 时，得 ∴BD=DC ∵DE平分∠BDC ∴DE⊥BC，BE=EC 又∠ACB=90° ∴DE∥AC ∴ 即 ∴AD=5。 （2）当 时，得 ∴EN∥BD 又∵EN⊥CD ∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高 由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC ∴CD= ∴ 综上，当AD=5或 时，△BME与△CNE相似。 （3）由角平分线性质易得 ∵ ∴ 即 ∴EM是BD的垂直平分线 ∴∠EDB=∠DBE ∵∠EDB=∠CDE ∴∠DBE=∠CDE 又∵∠DCE=∠BCD ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 由①得 ∴ ∴ ∴ 。