Question

求过点(1,3,-2)和直线x+y+z+1=0 2x-y+3z+4=0的平面方程

Answer 1

思路：过z轴的平面方程通式：
ax+by=0
解法：已知直线的方向数：l=|(1,1)(-1,3)|=3+1=4
m=|(1,1)(3,2)|=2-3=-1
n=|(1,1)(2,-1)|=-1-2=-3
=>
4a-b=0
【直线与平面平行，直线的方向向量与平面的法向量
点积为0】
=>
b=4a
取
a=1
，则
b=4
∴平面方程
x+4y=0
即为所求。
反思：
这类问题审清楚题意，进行列式，可以很快解决。

Answer 2

在直线上找出两点（比如和坐标平面的交点）：
y+z=-1
-y+3z=-4
=>
z=-5/4
、y=1/4
=>
M(0,1/4,-5/4)
x+y=-1
2x-y=-4
=>
x=-5/3、y=2/3
=>
N(-5/3,2/3,0)
则平面过三点：P(1,3,-2)、M(0,1/4,-5/4)、N(-5/3,2/3,0)
所以，平面方程
|x-1
y-3
z+2|
0-1
1/4-3
-5/4+2
=0
-5/3-1
2/3-3
0+2
=>
3x+4z+5=0
为所求
。

Answer 3

在直线上找出两点（比如和坐标平面的交点）：
y+z=-1
-y+3z=-4 => z=-5/4 、y=1/4 => M(0,1/4,-5/4)

x+y=-1
2x-y=-4 => x=-5/3、y=2/3 => N(-5/3,2/3,0)
则平面过三点：P(1,3,-2)、M(0,1/4,-5/4)、N(-5/3,2/3,0)
所以，平面方程 |x-1 y-3 z+2|
0-1 1/4-3 -5/4+2 =0
-5/3-1 2/3-3 0+2

=> 3x+4z+5=0 为所求 。