Question

已知x4+x3+x2+x+1=0,求1+x+x2+...+x2010的值

Answer 1

答：
1+x+x2+...+x2010
=1+x+x2+x3+x4+x5(1+x+x2+x3+x+x4)+x10(1+x+x2+x3+x4)...+x2005(1+x+x2+x3+x4)+x2010
=x2010
x4+x3+x2+x+1=0两边乘以(x-1)，得：(x4+x3+x2+x+1)(x-1)=x5-1=0
所以x5=1
所以x2010=(x5)^402=1^402=1
所以原式=1

Answer 2

1+x+x2+...+x2010
=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5(1+x+x^2+x^3+x^4)+.....+x^2005(1+x+x^2+x^3+x^4)
=0+0+0+...+0
=0