Question

高三数学数列问题

已知数列{an}前n项和为Sn,又有数列{bn},它们满足关系b1=a1,对n属于N有an+Sn=n，b（n+1）=a（n+1）-an
（1）求证{bn}是等比数列，并写出它的通项公式
（2）求an的通项公式

Answer 1

an+Sn=n，令n=1得：a1+S1=1, a1=1/2.
an+Sn=n，a(n-1)+S(n-1)=n-1.
两式相减得：an- a(n-1) + an=1.
2an- a(n-1)=1. an=1/2 a(n-1)+ 1/2.

b（n+1）=a（n+1）-an=1/2 an+ 1/2-an=-1/2 an+ 1/2.
bn= an- a(n-1) = an-(2an-1)=- an+1.
b（n+1）/ bn=1/2.
所以{bn}是等比数列，公比为1/2. b1=a1=1/2.
∴bn=(1/2)^n.

an- a(n-1) = bn=(1/2)^n.
利用累加法：an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+……+( an- a(n-1))
=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n
=1-(1/2)^n.