Question

如图所示，在直角三角形ABC中有一内接正方形DEFG，它的一条边DE在直角三角形的斜边BC上，设AB=a，角ABC=α

如图所示，在直角三角形ABC中有一内接正方形DEFG，它的一条边DE在直角三角形的斜边BC上，设AB=a，角ABC=α，用α和a表示正方形GFED 的面积

Answer 1

过A点作BC的垂线交GF于M,交BC于N,设正方形GFED的边长为x
在RT△ABC中
BC=a/sinα
在RT△ABN中
AN=asinα; AM=asinα-x
易证△AGF∽△ABC
∴GF:BC=AM:AN
即x:(a/sinα)=(asinα-x):(asinα)
整理得 xsinα:a=(asinα-x):(asinα)
即:xsinα=(asinα-x):(sinα)
xsin^α=asinα-x
x(sin^α+1)=asinα
x=asinα/(sin^α+1)
∴正方形GFED 的面积=x^=[asinα/(sin^α+1)]^