Question

关于逆矩阵 （A+B）的逆等于不等于A的逆加B的逆

请详细说明一下

Answer 1

一般来讲当然是不相等的，即使是一般的数，1/(a+b)和1/a+1/b也不一样

矩阵基础知识A加B的逆不等于A的逆加B的逆

若A、B、A^-1+B^-1都可逆， 则A+B可逆

证明: 因为 A+B = B(A^-1+B^-1)A

由已知 A、B、A^-1+B^-1都可逆

所以 A+B 可逆

且(A+B)^-1 

= [B(A^-1+B^-1)A]^-1 

= A^-1(A^-1+B^-1)^-1B^-1

定理

（1）逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵

推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积

Answer 2

一般不等于，反例如下：

令A=B=E
则(A+B)=2E， (A+B)逆= E/2

而A逆+B逆=E+E=2E

所以不等