Question

已知：关于x的方程①x2-（m+2）x+m-2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②

mx2+（n-2）x+m2-3=0有两个有理数根且两根之积等于2，求整数n的值。

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Answer 1

x²-(m+2)x+m-2=0的两根异号，则有x1x2<0
即m-2<0，得m<2
且正根x1绝对值大于负根x2的绝对值，则x1+x2>0
即m+2>0, 得m>-2
从而-2<m<2

mx²+(n-2)x+m²-3=0的两根为x3, x4
两根之积=2， 得x3x4=(m²-3)/m=2, 得：m²-2m-3=0
(m-3)(m+1)=0
由于-2<m<2, 所以得m=-1.
从而方程为-x²+(n-2)x-2=0
即x²-(n-2)x+2=0
根为有理数，则判别式为完全平方
即(n-2)²-8=k², 这里k>=0为整数
(n-2)²-k²=8
(n-2+k)(n-2-k)=8
因为n-2+k与n-2-k的奇偶性相同，且n-2+k>=n-2-k, 而8=2x4=-2x(-4)
因此只有以下可能：
n-2+k=4, n-2-k=2 , 解得：n=5
n-2+k=-2, n-2-k=-4, 解得: n=-1
综合得：n=5, 或-1