Question

线性代数问题，关于求矩阵的的最大无关组问题，如图所示

为什么从行阶梯型矩阵中找出“3个非零行的非零首元所在1,2,4三列”，这三列就是A向量组的一个最大无关组了呢？虽然会用这种方法来做这类题目了，但还是很想弄明白个中缘由，不然就一直觉得自己不是真正搞明白这类题，恳请高手指教，万分感谢！

Answer 1

这是因为用的是初等行变换，化成的行阶梯型（相当于对原来矩阵左乘一个可逆矩阵，是等价的可逆变换）
列向量之间的线性关系（线性表出方式）保持不变，
因此他们的秩也保持不变，从而根据化简后的子式，即可得知原来相应位置的子式的秩的情况

Answer 2

首先，你要清楚的是若向量组成的部分元素线性无关，那么向量就线性无关。
也就是：部分无关，则全部无关。
齐次，对角线行列式的值就是对角线元素的乘积，n阶行列式≠0，其对应的向量线性无关。

那么回头来看这个问题。

我们选择阶梯处的向量，其中的组成元素恰好组成了一个对角线行列式，由于其部分元素组成了对角线行列式≠0，那么根据上面的两个原因，所以这几列组成了一个线性无关的向量组。
又因为我们选择的是阶梯处的元素，所以阶梯下面的元素都是0，所得到的向量组是秩最大的向量组。

注意： 当遇到【列向量】时，我们通过初等【行】变换化为阶梯型。
当遇到【行向量】时，我们通过初等【列】变换化为阶梯型。

这是因为初等行变换不改变列向量的线性相关性。
初等列变换不改变行向量的线性相关性。

也可以将行向量α1，α2，...转置为列向量α1T，α2T，...再进行行变换。

newmanhero 2015年7月28日08:44:50

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 3

对A做初等行变换相当于用一个可逆阵P左乘A
既然rank[PAe_1,PAe_2,PAe_4]=3，就有rank[Ae_1,Ae_2,Ae_4]=3，也就是说A的1，2，4列线性无关

（这里e_i表示单位阵的第i列，那么Be_i就是B的第i列）

你应该好好看教材，要把基本概念都理解，这种教辅最多只有辅助作用，即使要看也应该一边看一边去回顾那些基本的定义和性质，而不是刷题

Answer 4

每个阶梯那个顶点元素所在的行向量或列向量组成的向量组，就是最大无关组。
因为那个元素下方和左边都是0