Question

高阶常系数齐次线性微分方程数三考不考

Answer 1

特征方程本身就是一个一元方程.
高阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是一个一元高次方程.
这里的特征方程一定能够得到与特征方程的次数相同个数的解.
对于一元一次和一元二次方程可以根据固定的公式得到它们的解.
但对于三次或者更高次的方程来说,尽管三次的也有求根公式,但是已经相当的麻烦了.因此只能根据自己的经验来求.
拿你的例子来说,可以直接将左边因式分解得到(r+i)(r-i)(r+1)(r-1)=0
从而得到该方程的四个特征根±1,±i
从而得到该方程的四个线性无关解e^x, e^(-x), cosx, sinx
因此原方程的通解为y=C1e^x+C2e^(-x)+C3cosx+C4sinx, 其中C1,C2,C3,C4为任意常数.

Answer 2

探讨了避开复值解定理求解常系 数线性微分方程的方法．施变换y＝ze￣rx于方程y（n）＋α1y（n－1）＋…＋αny＝0，则新方程的特征方程为 （λ＋r）n＋α1（λ＋r）n－1＋…＋αn＝0．指出了如特征方程分解为（λl＋p1λl－1＋…＋Pl）（λk＋q1λk－1＋…＋qk）＝0，， 则其对应的方程可以写成复合微分方程［z（k）＋q1z（k－1）＋…＋qkz］l＋p1［z（k）＋q1z（k－1）＋…＋qkz］ （l－1）＋…＋pl［z（k）＋q1z（k－1）＋…qkz］＝0．通过把方程写成复合微分方程和转化为非齐次方程，用待定系数法研究了齐次方程的通解 结构．在齐次方程通解理论的基础上，通过引进新方程、将其写成复合微分方程和转化为非齐次方程与所给的方程比较，导出非齐次方程的特解设置．

Answer 3

数三只考到二阶齐次常系数线性微分方程