Question

高中数学题（椭圆）

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为√3/2，两个焦点分别为F1、F2。椭圆G上一点到F1,F2的距离之和为12。圆Ck：x^2+y^2+2kx-4y-21=0的圆心为点A。
问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由。

Answer 1

解：（一）先求出椭圆G的方程。由题设可设a=2t,c=√3t,b=t,(t＞0).又由题设可知，a=6,∴t=3,b=3,c=3√3.∴椭圆方程为(x²/36)+(y²/9)=1.∴该椭圆上任意一点P(6cosm,3sinm).另外，圆Ck:(x+k)²+(y-2)²=k²+25.∴圆心A(-k,2),半径R=√(k²+25).(二）由题设可知，若圆Ck存在，则恒有|PA|≤R.===>(6cosm+k)²+(3sinm-2)²≤k²+25.===>5+4kcosm≤9sin²m+4sinm.该不等式中，k应满足，对任意m,恒成立。当sinm=0时，cosm=±1.显然此时的k不存在，∴不存在圆Ck,包围椭圆G.

Answer 2

由已知，椭圆方程x^2/36+y^2/9=1,圆(x+k)^2+(y-2)^2=25+k^2,圆心O在直线y=2上移动，当圆心在（0，2）上时，半径为5，考察椭圆上的两个点A（-6,0）和B（6.0）。到圆心（0，2）的距离OA和OB显然大于5，不在该圆内;当圆心O向右移动到（t，0），其中t>0,半径为根号下（25+t^2）,考察椭圆上的点A（-6,0）,A到圆心的距离AO=根号下(（6+t)^2+4）显然大于根号下（25+t^2）,从而不在该圆内；由对称性可知当圆心左移时B点不在圆内，终述，不存在满足题意的圆

Answer 3

由已知，椭圆方程x^2/36+y^2/9=1,圆(x+k)^2+(y-2)^2=25+k^2,圆心O在直线y=2上移动，当圆心在（0，2）上时，半径为5，考察椭圆上的两个点A（-6,0）和B（6.0）。到圆心（0，2）的距离OA和OB显然大于5，不在该圆内;当圆心O向右移动到（t，0），其中t>0,半径为根号下（25+t^2）,考察椭圆上的点A（-6,0）,A到圆心的距离AO=根号下(（6+t)^2+4）显然大于根号下（25+t^2）,从而不在该圆内；由对称性可知当圆心左移时B点不在圆内，终述，不存在