Question

数学必修2一道题

已知ABCD，ABEF是两个正方形，且不在一个平面内，M，N分别是对角线AC，FB上的点，且AM=FN
求证：MN//平面CBE

Answer 1

证明MN//平面CBE 即线面平行，转化为证明面面平行。
过点M作BC的平行线交AB于G点，连接NG。

下面证明面MGN//面CBE即可。

因为ABCD，ABEF是两个正方形
有公共边AB，所以AC=FB；

由MG//BC，得AM/AC=AG/AB，
又因为AM=FN，AC=FB，所以AM/AC=FN/FB，
所以FN/FB=AG/AB，所以NG//BE
根据面面平行判定定理，可得面MGN//面CBE，再由面面平行的性质定理
可证得MN//平面CBE

Answer 2

过N做NG平行EF交BE于G，过M做MH平行AB交BC于H，连接HG
因为ABCD,ABEF是两个正方形，且有一条公共边AB
所以AB=EF,AB‖EF，BF=CA
因为AM=FN
所以BN=BF-FN=CA-AM=CM
因为NG‖EF，MH‖AB
所以BN/BF=NG/EF，CM/AB=MH/AB
所以NG=MH
且NG‖EF‖AB‖MH
所以MHGN为平行四边形，
所以MN‖GH
因为GH在面CBE上
所以MH‖平面CBE