Question

几道大学微积分题目

用拉格朗日中值定理求证：
1，ex≤e^x
2，x≤tanx(0≤x≤π／2)
用罗必塔法则求极限：
lim(x→0)[1／e（1+x）^1／x]^1／x

Answer 1

我基本不给答案，给点想法，答案还得您自己来写。
有些题故意没有按你要求的写得特详细，要不然你自己不琢磨，就更看不懂了。
另外，楼上，不愿意回答为什么不绕行？非要跑上来抱怨几句？
1、把x换成-1/x，那么-1/x就换成了-1/(-1/x)=x，也就是
af(-1/x)+bf(x)=-sin(1/x)，
跟原来那个方程放一起，由a+b≠0，就可以求出f(x)+f(-1/x)，再由a≠b就能求出f(x)。
2、我就用a和b了，希腊字母打着费劲。首先b不是0。假如b是负的（正的那种情况大体上类似，结果一样），那么
(x+1)^b-x^b=(x^(-b)-(x+1)^(-b))
/
(x^(-b)(x+1)^(-b))
大约是bx^(-b-1)/x^(2b)=bx^(b-1)量级的，
那么现在，x^a/(bx^(b-1))趋于8，所以必须b=1/8并且a=b。
3、这个你让t=e^x，那么1/t=e^(-x)，解个二次方程t^2-2yt-1=0，然后在代进x=lnt。
4、这个当然不存在。两个子列有不同的极限了。反之假如这个极限存在，是C的话，你可以证明它的任何子列（比如x(n)和y(n)）的极限都是C，那么A=C=B就矛盾了。
5、x=1是可去间断点（第一类），可以直接用l'Hospital法则求个极限；
x趋于0或者2的时候f趋于正无穷，是个极点（第几类的你就自己看一下定义好了）。
其余点上分子、分母都有定义，所以不是间断点。
6、这个没有极限。你可以直接证明它在x趋于0的时候，和|x|/x是等价的；或者你可以更直接地证明，它的右极限是1，左极限是-1，所以没有极限。

Answer 2

1.当x《0时，显然有ex≤e^x
当x>0时，要证ex≤e^x，只要证e^x/x-e》0，构造f（x）=e^x/x，所以f（1）=e
所有由拉格朗日中值定理，当x>1时，f（x）-f（1）=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于【1，x]，显然
f(x)>f（1）
当x=1，f（x）=f（1）
当1>x>0时，f（x）-f（1）=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于[0,1]，所以f(x)>f（1）
综合上述，e^x/x-e》0，即ex≤e^x
2，构造f（x）=tanx，f（0）=0，f（x）-f（0）=1/(cosa)^2(x-0),其中a属于【0，π／2】，显然f（x）-f（0）》x，所以x≤tanx
3。lim(x→0)[1／e（1+x）^1／x]^1／x
=lim（x→0）e^{ln{1／e（1+x）^1／x}/1／x}
= lim e^{(1／x)ln(1+x)-1}/x
=lime^{ln(1+x)-x}/x^2(前面几步，恒等变形)
=lime^{1/(1+x)-1}/2x（罗必塔法）
=lime^-x/2x
=e^-1/2