Question

关于高二数学椭圆的问题

椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是根号3，求这个椭圆的方程？

Answer 1

∵短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形
∴短轴的一个端点与一个焦点的连线和长轴的夹角是60°

∴tan60°=b/c
b=√3c
a^2=b^2+c^2=4c^2
b^2=3c^2
∵焦点到椭圆的最短距离就是焦点到同侧的长轴顶点的距离
∴a-c=√3
a=√3+c
a^2=4c^2
∴(√3+c)^2=3+2√3c+c^2=4c^2
3c^2-2√3c-3=0
(c-√3)(3c+√3)=0
c>0
c=√3
a^2=4c^2=12
b^2=3c^2=9
∴x^2/12+y^2/9=1或x^2/9+y^2/12=1